بهینه سازی گنبدهای اسکالپ

توسعه اقتصادی، فرهنگی و تکنولوژی یک جوامع مختلف نیاز به ساخت سازه های با کاربری خاص و دهانه های بسیار بزرگ و شکلهای بدیع و اثرگذار را افزایش داده است. سازه های فضاکار با توجه به ویژگیها و مزایی خاص خود یکی از اصلی ترین راه حلها برای برآورده کردن نیاز مزبور می باشند. امروزه سازه های فضاکار به دلیل داشتن مزایای متنوع به طور گسترده و روز افزونی در پوشش سالن های وسیع صنعتی، آشیانه هواپیماها، سالن های ورزشی، نمایشگاهها و ... مورد استفاده قرار می گیرند. با توجه به بزرگی و وسعت این سازه ها و کاربرد آنها در فضاهای وسیعی که معمولا جمعیت فراوانی حضور دارند و نیز با توجه به فرم های خاص و سیستم های پیچیده سازه ای آنها، باید دقت ویژه ای را در طراحی این سازه ها معمول داشته و ملاحظات خاصی را مورد توجه قرار داد؛ به گونه ای که طراحی ایمن و اقتصادی حاصل گردد. سازه های فضاکار گروهی از سازه ها هستند که رفتار مسلط سه بعدی دارند؛ معمولا در خور تولید انبوه صنعتی بوده و در این حالت، الزامات فنی و اقتصادی را با تلفیق مناسبی از مفاهیم سازه ای، اصول ایمنی، دیدگاه های زیباشناسی و جنبه های اقتصادی فراهم می کنند. در سازه های فضاکار، برعکس سازه های مسطح نظیرخرپای صفحه ای، مجموعه تاشه، بارهای خارجی، نیروهای داخلی و تغییر مکان سازه ای در فضای سه بعدی تعریف می شوند. به عبارت دیگر، در سازه های فضاکار، عملکرد سازه در فضای دو بعدی قابل بیان نیست. رفتار برخی از سازه ها به گونه ای است که اثر یک بعد تحت الشعاع آثار رفتاری در دو بعد دیگر است. این گونه سازه فضاکار را به هیچ روی نمی توان به صورت یک سیتم صفحه ای، تصور، تحلیل و طراحی نمود. با توجه به تعداد بسیار زیاد اعضا در این گونه ها از سازه ها بهینه سازی آنها می تواند منجر به ایجاد سازه های بسیار پربازده تر و مقاوم در برابر بارهای قائم و جانبی گردد از این رو مسائل مربوط بهینه سازی این نوع از سازه ها از اهمیت بسیار بالایی برخوردار است. سازه های فضاکار شبکه ای از انواع متنوعی نظیر شبکه های تک لایه و چند لایه ، چلیک ها، گنبدها، سازه های هرمی، سازه های تاشو و ... برخوردار می باشند که در این بین گنبدها از حیث ویژگی و رفتارمندی و چه از جنبه فرم شناسی و ویژگیهای زیبا شناسی از جایگاه ویژه ای برخوردارند. آنچه همیشه مورد نظر معماران است، گرایش به خلق شکل های بدیع و دارای انحناء است. اگرچه پیش از ابداع سازه های فضاکار، برای این منظور ار بتن مسلح استفاده می شد، وزن بالا و هزینه زیاد قالب بندی، دستیابی به این هدف را به دشواری ممکن می کرد. امروزه با استفاده از سازه های فضاکار می توان هرسطح و حجم دلخواهی را پوشش داد. به عبارت دیگر، آزادی عمل معماران در خلق هر فرم سازه ای ایجاد شده است. گنبدهای اسکالپ یک نوع خاص از گنبدهای فضاکار می باشند که ایده اصلی شکل آنها از فرم بدن یک حیوان دریایی بنام اسکالپ الهام گرفته شده است. این گنبدها دارای اشکال بسیار بدیعی بوده و از زیبایی چشمگیری برخوردارند. دراین نوع از گنبدها از خاصیت قوس سه بار بهره برداری شده است، بعبارت دیگر دو بار در ساختار کلی گنبد و یک بار هم در ایجاد حالت قوسی برای قاچهای آنها این خاصیت مورد استفاده قرار گرفته است. گنبدهای اسکالپ از خصوصیات هندسی متنوعی برخوردارند و علیرغم ساخت نمونه های متعدد از این نوع گنبد درسراسر جهان کار تحقیقاتی چندانی بر روی جنبه های مختلف رفتاری آنها صورت نگرفته است. دراین رساله به بررسی ویژگی های هندسی گنبدهای اسکالپ و اثر هریک از این ویژگیها در رفتار گنبدهای مزبور و نیز بهینه سازی آنها با بهره گیری ازروشهای متاهیورستیک پرداخته شده است. بهره گیری از روشهای متاهیورستیک بدلیل مزایا و توانمندی بالای آنها بعنوان یک رویکرد مناسب در بهینه سازی سازه های فضاکار مطرح می باشد. از سوی دیگر با عنایت به بزرگی ابعاد این نوع از سازه ها، توجه به رفتار غیر خطی آنها از اهمیت بالایی برخوردار می باشد. جنبه های رفتار غیر خطی هندسی و غیر خطی مصالح تأثیر بسزایی درکارآمدی بهینه سازی این نوع از سازه ها برجای می گذارد که در این رساله بهینه سازی گنبدها و اسکالپ با در نظر گرفتن رفتار غیر خطی هندسه و مصالح و با بهره گیری از روشهای متاهیورستیک مورد نظر می باشد. 1-2- کلیات بهینه?سازی یک تعریف کلی از فرآیند بهینه?سازی عبارت است از دستیابی به بهترین نتیجه در شرایط داده شده. مسائل بهینه سازی با روشهای متفاوتی مورد ارزیابی قرار می گیرند. این روشها شامل شیوه های تحلیلی نظیر حساب تغییرات، حساب دیفرانسیل، روش مضارب لاگرانژ ]1[ و شیوه?های عددی مانند برنامه ریزی خطی ، روشهای جستجوی مستقیم ، روشهای مبتنی بر گرادیان ، روشهای تابع جریمه ، روشهای همزاد و روشهای معیار بهینگی ]1 ،2،3[می?باشند. هر یک از شیوه های تحلیلی و عددی ذکر شده محدودیتهای خاص خود را دارند. برای مثال اگرچه از شیوه های تحلیلی، پاسخهای دقیقی می?توان به دست آورد ولی فقط در مسایل ساده ای که مقید نیستند و یا قیدهای مساوی دارند قابل استفاده هستند. بیشتر این روشها با رسیدن به بهینه محلی متوقف می?شوند و قادر به یافتن بهینه کلی نمی?باشند. از طرف دیگر، شیوه?های عددی را می?توان در گستره وسیعی از مسائل به کار برد. در همه این روشها از یک جواب بهینه اولیه شروع کرده و با روشهای تکراری، جواب نهایی را جستجو می کنیم. بجز حالتی که فضای طراحی محدب است، هیچ تضمینی برای رسیدن روشهای بهینه?سازی عددی به پاسخ بهینه وجود ندارد. یکی دیگر از اشکالات روشهای بهینه سازی عددی این است که تابع هدف و محدودیتها باید دقیقاً بر حسب متغیرهای طراحی تعیین شوند. در سازه های واقعی، گاهی تعیین دقیق تابع هدف و محدودیتها بر طبق رابطه مشخصی بر حسب متغیرهای طراحی غیر ممکن است. در اینگونه موارد معمولاً روشهای تقریبی را به کار می بندیم که از بسط دنباله تیلور استفاده می?کنند و بوسیله آن می توان یک فرمول?بندی مشخصی برای مساله بدست آورد. مشکل دیگری که در مورد روشهای بهینه سازی عددی مطرح می?شود این است که بسیاری از چنین الگوریتمهایی فقط برای متغیرهای پیوسته کاربرد دارند. متغیرهای گسسته به صورت پیوسته در نظر گرفته می شوند و فقط پس از بدست آوردن پاسخ بهینه، چنین متغیرهایی به نزدیکترین مقادیر گسسته تبدیل می شوند. چنین تقریبی بدین دلیل بکاربرده شده است که در این روشها، بهینه سازی مسایل با متغیرهای پیوسته معمولاً آسانتر از متغیرهای گسسته است. در اکثر مسائل مطرح در حوزه مهندسی معمولاً با یک تابع هدف مواجه هستیم که با بهینه شدن مقدار آن، عملکرد کلی سیستم مورد مطالعه، بهینه خواهد شد. هدف اساسی در مهندسی عمران ایجاد طرحی است که در برابر نیازهای مورد نظر و شرایط موجود، بیشترین کارآیی را داشته باشد. در بهینه سازی سازه ها این عمل، معادل با تعیین گروهی از متغیرهای طراحی است که بر حسب بارهای اعمال شده، قیدها و پارامترهای از پیش تعیین شده، موجب کمینه شدن تابع هدف می گردند. 1-3- روشهای بهینه سازی در حالت کلی مسائل بهینه سازی سازه ها را می توان بر حسب متغیرهای طراحی و کمیت های کنترل کننده رفتار سازه, به صورت مسائل ریاضی مورد بررسی قرار داد. روشهای بررسی و حل چنین مسائلی بطور کلی به دو گروه تقسیم می شوند. گروه اول, شامل روشهای مبتنی بر گرادیان است که مشتقات تابع هدف و محدودیت ها را به همراه مقادیرشان برای یافتن طرح بهینه بکار می گیرند. در برخی مسائل بهینه سازی در مهندسی عمران، می توان از روشهای مبتنی بر گرادیان سود برد ولی در تعدادی از مسائل یا نمی توان از این روشها استفاده کرد و یا بکارگیری آنها به سادگی امکان پذیر نخواهد بود. به طور مثال وقتی که فضای جستجوی مساله گسسته است و یا با وجود پیوستگی این فضا بهینه های محلی مانع رسیدن روشهای گرادیانی به بهینه کلی می شوند, نمی توان از روشهای گرادیانی استفاده نمود. در این موارد از روشهای جستجوی مستقیم که در گروه دوم روشهای ریاضی قرار دارند، استفاده می شود. روشهای گروه دوم بر پایه گرادیان نبوده و تنها به ارزیابی مقادیر تابع هدف و محدودیتها برای انجام جستجو های بعدی نیاز دارند. از آنجایی که روشهای گروه اول, اطلاعات بیشتری از تحلیل سازه را در یک نقطه بکار می گیرند، می توان انتظار داشت که از کارآیی بیشتری نسبت به روشهای گروه دوم برخوردار و به تعداد کمتری از تحلیل های پیاپی سازه نیازمند باشند. ماهیت خطی و یا غیرخطی مسائل بهینه ساری روشهای ریاضی را به دو گروه دیگر تقسیم می کند. در روشهای خطی، تابع هدف و محدودیت ها به صورت توابعی خطی از متغیرهای طراحی در نظر گرفته می شوند. اگرچه به ظاهر تنها گروه کوچکی از مسائل بهینه سازی را می توان در قالب روشهای خطی مورد ارزیابی قرار داد، ولی به دلیل آنکه روشهای خطی ابزار قدرتمندی در برخی از روشهای حل مسائل غیر خطی مانند مسیرهای قابل قبول و برنامه ریزی خطی پیاپی می باشند، در عمل روش مزبور در سطح گسترده ای از مسائل طراحی بهینه سازه ها کاربرد دارد. گروه عمده ای از مسائل طراحی بهینه سازه ها به دلیل وابستگی غیرخطی میان رفتار سازه و متغیرهای طراحی در چهارچوب مسائل غیرخطی قرار می گیرند. با توجه به ماهیت غیرخطی این مسائل واضح است که حل آنها با دشواریهایی همراه خواهد بود بطوریکه رسیدن به یک پاسخ بهینه کلی با چنین روشهایی با تردید همراه بوده و فرآیند بهینه سازی در بسیاری از موارد به پاسخ بهینه محلی همگرا می شود. از دیدگاه دیگر می توان این روشها را در دو گروه روشهای قطعی (غیر تصادفی) و تصادفی جای داد. منظور از روشهای تصادفی، روشهایی هستند که از نمونه برداری تصادفی فضای جستجو یا مدل های تصادفی تابع هدف استفاده می کنند که در سالهای اخیر توجه بسیاری را به خود جلب نموده اند و این به دلیل ارائه روش های موثری در حل مسائل بهینه سازی مشکل و امکان دست یابی به نقطه بهینه کلی می باشد. از طرف دیگر، بیشتر روشهای قطعی دارای این اشکال اساسی هستند که به محض رسیدن به اولین نقطه بهینه محلی متوقف شده و توانایی خروج از این نقطه و حرکت به سوی نقطه بهینه کلی را از دست می دهند. بنابراین مدتهاست که مطالعاتی بر روی الگوریتم هایی که بتوانند از نقطه بهینه موضعی بگریزند، آغاز شده و تا کنون روش های متفاوتی ارائه و مورد بررسی قرار گرفته است. در این میان الگوریتم های تصادفی به دلیل عملکرد ساده تر و در نتیجه، راحتی اجرا به کمک رایانه مورد توجه بیشتری قرار گرفته اند. با توجه به مطالب فوق، در فرآیند جستجوی نقاط بهینه دو مورد را باید به طور همزمان مدنظر قرار داد. نخست اینکه بهینه کلی می تواند در هر جای فضای جستجو قرار بگیرد و دوم اینکه بر اساس استراتژی محلی، احتمال یافتن نقطه ای جدید که مقدار تابع هدف را بهبود بخشد، نزدیک نقطه ای با مقدار تابع هدف بهتر، بیشتر از نقطه ای با مقدار تابع هدف بدتر است. بنابر آنچه بیان شد، یک روش بهینه سازی موثر باید دو هدف را پیگیری کند. با در نظر گرفتن استراتژی کلی، توزیع نقاط انتخابی باید یکنواخت باشد و برای برآوردن استراتژی دوم، توزیع نقاط باید در پیرامون بهترین نقاط فعلی متمرکز گردد. به همین دلیل بیشتر روشهای بهینه سازی از دو استراتژی جستجوی کلی و محلی استفاده می کنند. 1-4- بهینه سازی و تقریب?سازی مبتنی بر محاسبات نرم در سالهای اخیر روشهای محاسبات نرم در حوزه?های مختلف مهندسی و علوم جهت حل مسایل پیچیده و حجیم به لحاظ محاسباتی مورد استفاده قرار گرفته?اند. چند مورد از زمینه?های محاسبات نرم عبارتند از: شبکه?های عصبی ، الگوریتمهای وراثتی ، سیستمهای فازی ، هوش پرندگان ، الگوریتمهای تکاملی و غیره. بسیاری از سیستم های زنده و غیر زنده طبیعی، نسبت به سیستم های ساخت دست بشر از لحاظ کارآیی برتری کاملی دارند. ترکیبی از خود تعمیری، راهنمای خود بودن و تولید مثل، قوانینی در سیستم های زیستی و طبیعی می باشند که به سختی می توان حتی بعضی از آنها را در سیستم های ساخت دست بشر یافت. همین امر محققین را بر آن داشته که سیستم های طبیعی و هوش حاکم بر رفتار آنها را بعنوان الگوی طراحی سیستم های مهندسی مورد توجه قرار دهند. چنین تلاشهایی به ایجاد مجموعه روشهای بهینه سازی برگرفته از طبیعت یا مبتنی بر هوش مصنوعی منجر شده است که به دو زیر مجموعه اصلی تقسیم می شوند: روشهای مبتنی بر طبیعت جاندار و روشهای برگرفته از طبیعت بی جان. اکثر روشهای مبتنی بر طبیعت جاندار از فرآیند تکاملی جانداران در طبیعت ایده می گیرند. در این فرآیند، ویژگی های جانداران بهبود می یابد تا بهتر بتوانند با محیط سازگار شوند و در رقابت با سایر جانداران برای دست یابی به منابع محدود طبیعی پیروز گردند. دو گروه عمده این زیر مجموعه، الگوریتمهای وراثتی و تکاملی می باشند ]4[. در الگوریتمهای تکاملی ابتدا جمعیتی از نقاط بطور تصادفی از میان جوابها انتخاب و سپس مقدار تابع هدف به ازای تک تک نقاط جمعیت محاسبه می شود. در مرحله تولید جمعیت نقاط جدید، با کمک جمعیت موجود و استفاده از تابع توزیع احتمال مشخص و یا هر عملگر تصادفی دیگر، جمعیت نقاط دیگری تولید و مقدار تابع هدف به ازإ هریک از نقاط جمعیت بوجود آمده، محاسبه می شود. در اینجا جمعیت جدید با جمعیت مولد سنجیده شده و بر اساس این سنجش، جمعیت نقاط جدید برای مرحله بعد انتخاب می شوند. در میان الگوریتم های تکاملی، الگوریتم های جامعه پرندگان ]5[ یکی از قدرتمندترین روش های جستجوی تصادفی می باشد. در این الگوریتم‏، با تنظیم مسیر حرکت پرندگان در فضای جستجو بر پایه اطلاعات مربوط به بهترین موقعیت قبلی هر پرنده و همسایگان آن، عمل جستجو انجام می?شود. الگوریتم جامعه پرندگان دارای سرعت همگرایی بالا و عملگرهای کمتری نسبت به الگوریتم تکاملی پیشین می باشد. روشهای برگرفته از طبیعت بی جان در فرآیندهای فیزیکی موجود در طبیعت ریشه دارند. شناخته شده ترین روش این زیرمجموعه، شبیه سازی باز پخت فلزات است. روشهای بهینه سازی مبتنی بر محاسبات نرم، وابسته به گروه روشهای مستقیم بوده و شباهت زیادی به روشهای جستجوی تصادفی دارند. روشهای جستجوی تصادفی تنها از استراتژی جستجوی کلی برخوردارند در حالیکه روشهای مبتنی بر هوش مصنوعی بطور همزمان هر دو استراتژی جستجوی کلی و محلی را اجرا می کنند. در رساله حاضر از روشهای بهینه?سازی بر گرفته از طبیعت جاندار استفاده شده است. بطور مشخص در این رساله از الگوریتم جامعه پرندگان (pso) و نسخه اصلاح شده آن در بهینه?سازی استفاده شده است. همچنین در این رساله جهت پیشبینی پاسخهای سازه در مقابل بار زلزله مستلزم از شبکه های عصبی مصنوعی برای کاهش حجم محاسبات استفاده شده است. در حقیقت شبکه های عصبی مصنوعی سیستمهای دینامیکی هوشمند مبتنی بر داده های تجربی هستند که با پردازش روی داده های تجربی، دانش یا قانون نهفته در ورای داده ها را به ساختار شبکه منتقل می کنند. به همین خاطر به این سیستمها هوشمند گویند، چرا که بر اساس محاسبات روی داده های عددی، قوانین کلی را فرا می گیرند. به عنوان یک نگاه اجمالی به تاریخچه شبکه های عصبی مصنوعی و روند توسعه آنها میتوان اظهار داشت که شبکه های عصبی مصنوعی در سال 1943 میلادی توسط مک کلاچ و پیتز]6[ با ساختن یک شبکه ساده متشکل از چند نرون ساده مصنوعی، به دنیای علم معرفی شد. در سال 1949 هب] 7[ اولین قانون آموزش برای شبکه های عصبی مصنوعی را مطرح کرد. در محدوده سالهای 1958 تا 1962 روزن بلات ]8[ گروه بزرگی از شبکه های عصبی به نام پرسپترون را معرفی نمود. در سال 1960 شبکه آدالاین توسط ویدرو] 9[ جهت تشخیص متن ارائه گردید. در سال 1970 میلادی کوهونن ]10[ تحقیقاتی را در مورد شبکه های با حافظه مشارکتی انجام داد. گراسبرگ ]11[ نیز تحقیقاتی ارائه کرد که بیشتر روابط ریاضی حاکم بر شبکه های عصبی مصنوعی را مطرح می کند. شبکه های موسوم به آرت که قادر به مرتب کردن و طبقه بندی اطلاعات ورودی هستند، در نتیجه مطالعات گراسبرگ به وجود آمدند. اصولاً شبکه های تک لایه کارآیی چندانی در حل مسائلی که نگاشت فضای ورودی به خروجی آنها توابع غیر خطی طلب می کرد، نداشتند. هاپفیلد ]12[، یکی از برندگان جایزه نوبل فیزیک، گروهی از شبکه های عصبی مصنوعی را که بر اساس وزن ثابت و به صورت حافظه مشارکتی عمل نموده و امکان حل مسائلی با قیدهای اولیه را فراهم می کنند، معرفی نمود. فوکوشیما ]13[ مجموعه ای از شبکه های عصبی مصنوعی بنام نئو کگنیترون را در جهت شناسایی حروف، طراحی نمود. شبکه های عصبی تابع بنیادی شعاعی یا rbf که دارای قابلیت های فراوانی هستند در دهه 90 میلادی توسط محققینی از جمله مودی، دارکن، ژیروسی، پوگی، لی و ره ]14[ معرفی شدند. 1-5- سابقه تحقیق هرچند در خصوص بهینه سازی انواع سازه های فضاکار کارهای فراوانی انجام شده است ]27-15[ اما در زمینه طرح بهینه گنبدهای اسکالپ هیچ کار مشابهی صورت نگرفته است و این زمینه تحقیقاتی کاملا بکر می باشد. 1-6- محتوای تحقیق هدف اصلی در این رساله بهینه سازی گنبدهای اسکالپ می باشد بدین منظور در ابتدا به بررسی هایی از تأثیر ویژگیهای اصلی هندسی این نوع از گنبدها بر روی رفتار آنها پرداخته شده است. برای این منظور با ثابت در نظر گرفتن سایر متغیرها به بررسی اثرات هر یک از متغیرهای هندسی این نوع از گنبدها پرداخته شده است و برای نیل به این هدف تعداد بسیار زیادی گنبد اسکالپ تاشه پردازی آنالیز و طراحی گردیده است و نتایج حاصله بصورت نمودارهایی ارائه گردیده اند. سپس بهینه سازی گنبدهای اسکالپ در برابر بارهای استاتیکی و با در نظر گرفتن رفتار غیر خطی هندسه و مصالح انجام رسیده و نتایج با طرح های بهینه که صرفاًبا در نظر گرفتن رفتار خطی بدست آمده اند مقایسه گردیده است. دراین بخش یک الگوریتم بهینه سازی جدید با عملکرد محاسباتی بهبود یافته ارائه شده است که در آن از الگوریتم اصلاح شده جامعه پرندگان بر مبنای نظریه ماشینهای یاخته ای استفاده شده است. سپس بمنظور ورود به بحث بارهای دینامیکی ، پاسخهای دینامیکی گنبدهای اسکالپ در برابر زلزله با بهره گیری شبکه های عصبی تقریب سازی گردیده است، موارد یاد شده درقالب های فصل در این رساله ارائه گردیده است. در فصل اول به مورد اصول کلی بهینه سازی، روشهای اولیه بهینه سازی و کارایی هر یک از آنها و کلیات بحث شبکه های عصبی پرداخته شده و هدف اصلی رساله عنوان گردیده ومختصری از محتوای هر فصل بیان شده است. در فصل دوم تحت عنوان سازه های فضاکار و معرفی گنبدهای اسکالپ به معرفی انواع سازه های فضاکار شبکه ای پرداخته شده و به معرفی گنبدهای اسکالپ و بیان ویژگیهای هندسی آنها وکاربردهای این نوع از گنبد و نحوه تاشه پردازی آنها پرداخته شده است. در فصل سوم تحت عنوان بهینه سازی به مبنای تئوریک استفاده شده در بهینه سازی گنبدهای اسکالپ در این رساله و تشریح مفصل تر الگوریتم جامعه پرندگان و الگوریتم بهبود یافته جامعه پرندگان و بیان مفاهیم نظریه ماشینهای یاخته ای پرداخته شده است. در فصل چهارم تحت عنوان رفتار غیر خطی مفاهیم و روشهای محاسباتی مربوط به رفتار غیر خطی هندسه و مصالح بیان گردیده است. درفصل پنجم تحت عنوان شبکه های عصبی به مفاهیم بنیادی شبکه های عصبی اشاره گردیده و شبکه عصبی تابع بنیادی شعاعی بصورت مفصل تری مورد بحث قرار گرفته و سپس به بیان مفاهیم و ویژگی های سیستمهای استنتاج فازی و درنهایت سیستم استنتاج عصبی- فازی تطیبقی پرداخته شده است. در فصل ششم رساله تحت عنوان رفتار شناسی گنبدهای اسکالپ روش کار برای دستیابی به شناخت هندسی از رفتار گنبدهای اسکالپ و تأثیر پارامترهای اصلی هندسی این گنبدها در رفتار آنها و نحوه بهینه نمودارهای ارائه شده در فصل نتایج عددی تشریح شده است. درفصل هفتم تحت عنوان نتایج عددی و جمع بندی نمودارهای مربوط به بخش رفتار شناسی و توصیف و تشریح ویژگیهای نمودارهای مزبور و نتایج عددی مربوط به بهینه سازی غیر خطی با الگوریتم جامعه پرندگان و الگوریتم اصلاح شده و مقایسه نتایج و همچنین نتایج مربوط به مثال عددی برای پیش بینی رفتار دینامیکی گنبدهای اسکالپ ارائه گردیده است. در قسمت پایانی این فصل نیز نتیجه گیری و پیشنهاداتی برای تحقیقات بعدی بیان شده است.